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Freitag, 18. Dezember 2015

[ #mathematik ] Online üben: Teiler und größter gemeinsamer Teiler (ggT) zweier Zahlen

Der Teiler ist eine Zahl, durch die man eine andere Zahl (ohne Rest) teilen kann. 

Die Teilermenge einer Zahl ist eine Menge, in der alle Zahlen enthalten sind, durch die man diese Zahl teilen kann, ohne, dass ein Rest bleibt.

Beispiel: Teilermenge von 12
T12 = {1, 3, 4, 12}

Teilbarkeit. Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.

Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat dagegen viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.


Teilbarkeitsregeln. Für den täglichen Gebrauch sind die Teilbarkeitsregeln für 7 und 11 weniger brauchbar. Aber alle anderen sollte man kennen, insbesondere wenn man etwa beim Bruchrechnen kürzen soll:
  • Teilbarkeit durch 2: Nur gerade Zahlen sind durch 2 (ohne Rest) teilbar, ungerade Zahlen nicht.
  • Teilbarkeit durch 3: Eine Zahl ist nur dann durch 3 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme (Quersumme) durch 3 teilbar ist
  • Teilbarkeit durch 4: Eine Zahl ist nur dann durch 4 teilbar, wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist.
  • Teilbarkeit durch 5: Eine Zahl ist durch 5 (ohne Rest) teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.
  • Teilbarkeit durch 6: Zahlen sind durch 6 teilbar, wenn sie auch durch 2 und 3 teilbar sind.
  • Teilbarkeit durch 7: Im Babylonischen Talmud findet sich eine Teilbarkeitsregel, bei der man letztendlich nur überprüfen muss, ob eine zweistellige Zahl durch 7 teilbar ist. 
  • Teilbarkeit durch 8: Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist.
  • Teilbarkeit durch 9: Eine Zahl ist nur dann durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme (Quersumme) durch 9 teilbar ist
  • Teilbarkeit durch 10, 100, 1000, ..: Eine Zahl ist durch diese Zahlen restlos teilbar, wenn sie gleich viele Nullen am Ende haben.
  • Teilbarkeit durch 11: Teile die Ziffern einer Zahl von hinten in Zweierblöcke auf und addiere. Die gegebene Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn diese Paarquersumme durch 11 teilbar ist (Beispiel 5.024.679 5|02|46|79 5+2+46+79 = 132; 132 ist durch 11 teilbar, damit auch die Zahl 5.024.679
  • Teilbarkeit durch 12: Zahlen sind durch 12 teilbar, wenn sie auch durch 3 und 4 teilbar sind.
  • Teilbarkeit durch 15: Zahlen sind durch 15 teilbar, wenn sie auch durch 3 und 5 teilbar sind.
  • Teilbarkeit durch 25: Eine Zahl ist nur dann durch 25 teilbar, wenn die aus den letzten 2 Ziffern gebildete Zahl durch 25 teilbar ist (24,50, 75, .00).
  • Teilbarkeit durch 125: Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn die aus den letzten 3 Ziffern gebildete Zahl durch 125 teilbar ist (125, 250, 375. 500, 625, 750, 875, .000).
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